Question

请问e^[-(x^2)/2]在（-无穷，+无穷）的反常积分怎么做？

请问e^[-(x^2)/2]在（-无穷，+无穷）的反常积分怎么做？
还有一题：设连续型随机变量X的分布函数为
F(x)=a+be^[-(x^2)/2],x>=0
=0,x<0
求P{X大于(ln4)^(1/2)小于(ln16)^(1/2)}
非常感谢！

Answer 1

1、给你一个不是很严密的做法，严格做法在同济大学高等数学教材中有（下册二重积分极坐标部分）
设u=∫[-∞，+∞] e^(-t^2)dt
两边平方： 下面省略积分限
u^2=∫e^(-t^2)dt*∫e^(-t^2)dt 由于积分可以随便换积分变量
=∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy 这样变成一个二重积分
=∫∫ e^(-x^2-y^2)dxdy 积分区域为x^2+y^2=R^2 R-->+∞
用极坐标
=∫∫ e^(-r^2)*rdrdθ
=∫ [0-->2π]∫ [0-->R] e^(-r^2)*rdrdθ 然后R-->+∞取极限
=2π*(1/2)∫ [0-->R] e^(-r^2)d (r^2)
=π[1-e^(-R^2)] 然后R-->+∞取极限
=π
这样u^2=π，因此u=√π

本题不严密处在于，化为二重积分时，其实不应该是一个圆形区域，而应该是矩形区域，书上有这个处理方法，利用夹逼准则将圆形区域夹在两个矩形区域之间来解决这个问题。

2、分布函数满足lim(x-->+∞)F(x)=1，则a=1
你看一下书，你们的书上分布函数是否要求左连续？（不同的教材定义不同的）如果要求左连续，那就简单了，lim(x-->0-)F(x)=0
又F(0)=a+b，得b=-1
P{X大于(ln4)^(1/2)小于(ln16)^(1/2)}
=F((ln16)^(1/2))-F((ln4)^(1/2))
=1/2-1/4
=1/4