Question

（2011?崇明县二模）如图，已知椭圆x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0），M为椭圆上的一个动点，F1、F2分别为椭圆的

（2011?崇明县二模）如图，已知椭圆x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0），M为椭圆上的一个动点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A、B分别为椭圆的一个长轴端点与短轴的端点．当MF2⊥F1F2时，原点O到直线MF1的距离为13|OF1|．（1）求a，b满足的关系式；（2）过F2作与直线AB垂直的直线，交椭圆于P、Q两点，当三角形PQF1面积为203时，求此时椭圆的方程；（3）当点M在椭圆上变化时，求证：∠F1MF2的最大值为π2．

Answer 1

（1）设F₁（-c，0），F₂（c，0），A（a，0），B（0，b）
因为MF₂⊥F₁F₂，所以点M坐标为M(c，

b2

a

)
所以MF₁方程b²x-2acy+b²c=0
O到MF₁距离d＝ 

b2c

b4+4a2c2

＝

1

3

c，整理得2b⁴=a²c²
所以

a2＝b2+c2 2b4＝a2c2

，解得a＝

2

b
（2）设直线l方程为y＝

2

(x?b)，直线与椭圆交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），F₁到直线PQ的距离为h
解联立方程

y＝ 2 (x?b) x2+2y2＝2b2

得5x²-8bx+2b²=0，PQ＝

6 2

5

b，h＝

2 6 b

3

所以S△PQF1＝

4

5

3

b2＝20

3

所以b²=25，a²=50
∴椭圆方程为

x2

50

+

y2

25

＝1
（3）设MF₁=m，MF₂=n，m+n=2a
由余弦定理得cos∠F1MF2＝

m2+n2?4c2

2mn

＝

2b2

mn

?1
因为0＜mn≤

(m+n)2

4

＝2b2，
所以cos∠F₁MF₂≥0
当且仅当m＝n＝a＝

2

b，cos∠F1MF2＝0
由三角形内角及余弦单调性知有最大值∠F1MF2＝

π

2