Question

（2013?湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线

（2013?湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=253，求AC的长．

Answer 1

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°．
又∵OP∥BC，
∴∠AOP=∠B，
∴∠BAC+∠AOP=90°．
∵∠P=∠BAC．
∴∠P+∠AOP=90°，
∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．
又∵OA是的⊙O的半径，
∴PA为⊙O的切线；

（2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5，
∴OA=OB=5．
又∵OP=

25

3

，
∴在直角△APO中，根据勾股定理知PA=

PO2?OA2

=

20

3

，
由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°．
∵∠BAC=∠P，
∴△ABC∽△POA，
∴

AB

PO

=

AC

PA

．
∴

10

25 3

=

AC

20 3

，
解得AC=8．即AC的长度为8．