Question

（2014?江西模拟）等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作

（2014?江西模拟）等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．

Answer 1

解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10-t
∴s＝

1

2

×t×(10?t)＝

1

2

(10t?t2)
当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t-10
∴s＝

1

2

×t×(t?10)＝

1

2

(t2?10t)（4分）

（2）∵S_△ABC=

1

2

AB?BC＝50（5分）
∴当t＜10秒时，S_△PCQ=

1

2

(10t?t2)＝50
整理得t²-10t+100=0无解（6分）
当t＞10秒时，S_△PCQ=

1

2

(t2?10t)＝50
整理得t²-10t-100=0解得x＝5±5

5

（舍去负值）（7分）
∴当点P运动5+5

5

秒时，S_△PCQ=S_△ABC（8分）

（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变（10分）
证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M
易证△APE≌△QCM，
∴AE=PE=CM=QM=

2

2

t，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半（11分）
又∵EM=AC=10

2

∴DE=5

2

∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变（12分）