Question

已知点A（1，0）、B（0，-1）、C（-1，2）、D（2，-1）、E（4，2），且抛物线y=a（x-1） 2 +k（a＞0）经

已知点A（1，0）、B（0，-1）、C（-1，2）、D（2，-1）、E（4，2），且抛物线y=a（x-1） 2 +k（a＞0）经过其中三点．（l）求证：C、E两点不可能同时在抛物线y=a（x-1） 2 +k（a＞0）上；（2）试问点A在抛物线y=a（x-1） 2 +k（a＞0）上吗？说明理由；（3）直接写出抛物线可能经过的三点．

Answer 1

（1）∵抛物线y=a（x-1） 2 +k的对称轴为x=1， 而C（-1，2），E（4，2）两点纵坐标相等， 由抛物线的对称性可知，C、E关于直线x=1对称， 又∵C（-1，2）与对称轴相距2，E（4，2）与对称轴相距3， ∴C、E两点不可能同时在抛物线y=a（x-1） 2 +k（a＞0）上； （2）假设点A（1，0）在抛物线y=a（x-1） 2 +k（a＞0）上， 则a（1-1） 2 +k=0，解得k=0， 因为抛物线经过5个点中的三个点， 将B（0，-1）、C（-1，2）、D（2，-1）、E（4，2）代入， 得出a的值分别为a=-1，a= 1 2 ，a=-1，a= 2 9 ，所以抛物线经过的点是B，D， 又因为a＞0，与a=-1矛盾， 所以假设不成立． 所以A不在抛物线y=a（x-1） 2 +k（a＞0）上； （3）将D（2，-1）、C（-1，2）两点坐标代入y=a（x-1） 2 +k中， 得 a+k=-1  4a+k=2  ， 解得 a=1 k=-2 ，符合题意； 将E（4，2）、D（2，-1）两点坐标代入y=a（x-1） 2 +k中， 得 9a+k=2   a+k=-1   ， 解得 a= 3 8 k=- 11 8 ，符合题意． 综上所述，抛物线可能经过的三点是B、C、D或B、D、E．