Question

已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范

已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是
（A）（0，1）(B)（1-根号2/2，1/2）( C)（1-根号2/2，1/3）(D)[ 1/3, 1/2）

Answer 1

1. 首先，分成三种情况讨论

1、y=ax+b和x轴交点在A时，容易得b=1/3；因为此时以AB为底边，高只能为oc的一半，所以y=ax+b与BC直线（x+y=1）交于（1/2，1/2）点，A（-1,0），所以b=1/3；

2、当y=ax+b和x轴交点在A与（0,0）点之间时，不妨设为（x0,0）点，x0=-b/a；又知y=ax+b与BC线段交于（x1，y1）点，x1=（1-b）/（1+a），y1=（a+b）/（1+a）

ABC面积=1，所以分割后的三角形面积=1/2=（1/2）*（1-x0）*y1

所以（a+b）平方=a*(1+a)；即a=b*b/（1-2b）大于0，所以b小于1/2；

3、当y=ax+b和x轴交点在A点左侧时，明显b不能超过1/3；但也不能趋于0；

选B

如果展开第三点讨论，设y=ax+b与直线CA的延长线交（x2，y2）点，与BC交（x3，y3）点

得x2=（1-b）/（1+a），x3=（1-b）/（1+a），

面积=1/2=（1/2）*（1-b）*（x3-x2）

所以，(1-b)(1-b)=(1-a*a)/2,a大于零，所以b大于1-根号2/2。

 

办法二、本题为选择题，解出b=1/3时，迅速排除CD，A几乎不可能趋于0，排除；选B

Answer 2

y=ax+b与直线y=-x+1及Y轴围成的三角形的面积与
y=ax+b与X轴及Y轴围成的三角形面积相等
（1-b）^2/(a+1)=b^2/a a>0
从极限的角度，a-〉0，b=0；a—〉无穷大，b=1
所以b的范围（0，1），选择A