如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求直线BC与
如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求直线BC与平面APB所成角的正弦值；（Ⅲ）求点...
如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求直线BC与平面APB所成角的正弦值；（Ⅲ）求点C到平面APB的距离．
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解：（Ⅰ）∵AP=BP，∴PD⊥AB．…1∵AC=BC，∴CD⊥AB．…2
∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD．…3
∵PC∩平面PCD．∴PC⊥AB．…4
（Ⅱ）∵AC=BC，AP=BP，∴△APC≌△BPC．
又PC⊥BC．∴PC⊥BC．
又∠ACB=90°，即AC⊥BC．
且AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC．
取AP中点E，连接BE，CE．
∵AB=BP，∴BE⊥AP．
∵EC是BE在平面PAC内的射影．∴CE⊥AP．
∴∠EBC是直线BC与平面APB所成的角 …6
在△BCE中，∠BCE=90°，BC=2，BE=
| ||
| 2 |
| 6 |
| EC |
| BE |
| ||
| 3 |
（Ⅲ）由（Ⅰ）
知AB⊥平面PCD，∴平面APB⊥平面PCD．过C作CH⊥PD，垂足为H．
∵平面APB∩平面PCD=PD，∴CH⊥平面APB．
∴CH的长即为点C到平面APB的距离，…10
由（Ⅰ）知PC⊥AB，又PC⊥AC，且AB∩AC=A．
∴PC⊥平面ABC．CD?平面ABC．
∴PC⊥CD．
在Rt△PCD中，CD=
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| 2 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 6 |
∴PC=
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