已知函数f（x）是（0，+∞）上可导函数，且xf′（x）＞f（x）在x＞0时恒成立，又g（x）=ln（1+x）-x（x＞
已知函数f（x）是（0，+∞）上可导函数，且xf′（x）＞f（x）在x＞0时恒成立，又g（x）=ln（1+x）-x（x＞-1）①求g（x）的最值②求证x1＞0，x2＞0时...
已知函数f（x）是（0，+∞）上可导函数，且xf′（x）＞f（x）在x＞0时恒成立，又g（x）=ln（1+x）-x（x＞-1）①求g（x）的最值②求证x1＞0，x2＞0时f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2）并猜想一个一般结论，加以证明③求证122ln22+132ln32+…+1(n+1)2ln(n+1)2＞n2(n+1)(n+2)(n∈N*)．
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①∵g′（x）=
-1=-
，
∵当-1＜x＜0时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-1，0）上单调递增；
当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减；
∴当x=0时，g（x）=ln（1+x）-x取得极大值，由极值的唯一性知，也是最大值，无最小值．
∴g（x）max=g（0）=0．
②∵函数f（x）是（0，+∞）上可导函数，且xf′（x）＞f（x）在x＞0时恒成立，
令h（x）=
，则h′（x）=
＞0在x＞0时恒成立，
∴函数h（x）=
在（0，+∞）上是增函数．
∴当x1＞0，x2＞0时，有x1+x2＞0，
∴h（x1+x2）＞h（x1），即
＞
，
∴x1f（x1+x2）＞（x1+x2）f（x1），
同理可得x2f（x1+x2）＞（x1+x2）f（x2），
∴（x1+x2）f（x1+x2）＞（x1+x2）（f（x1）+f（x2）），
∴f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2）（x1＞0，x2＞0）．
于是可猜想：xi＞0（i=1，2，3，…，n）时，有：f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（xn）＜f（x1+x2+x3+…xn）（n≥2）恒成立．
下面证明：则当n=2时，由f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2）（x1＞0，x2＞0）知结论成立；
假设n=k时，结论成立，即f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（xk）＜f（x1+x2+x3+…xk），
则n=k+1时，f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（xk）+f（xk+1）＜f（x1+x2+x3+…xk）+f（xk+1）＜f（x1+x2+x3+…xk+1），
即n=k+1时，结论也成立，
综上所述，xi＞0（i=1，2，3，…，n）时，有：f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（xn）＜f（x1+x2+x3+…xn）（n≥2）恒成立．
③用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1时，左=
ln22=
ln4，
右=
=
?
，由于ln4＞1＞
，
∴
ln4＞
?
，即原不等式成立．
（ⅱ）假设n=k时，命题成立．即：
| 1 |
| 1+x |
| x |
| 1+x |
∵当-1＜x＜0时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-1，0）上单调递增；
当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减；
∴当x=0时，g（x）=ln（1+x）-x取得极大值，由极值的唯一性知，也是最大值，无最小值．
∴g（x）max=g（0）=0．
②∵函数f（x）是（0，+∞）上可导函数，且xf′（x）＞f（x）在x＞0时恒成立，
令h（x）=
| f(x) |
| x |
| xf′(x)?f(x) |
| x2 |
∴函数h（x）=
| f(x) |
| x |
∴当x1＞0，x2＞0时，有x1+x2＞0，
∴h（x1+x2）＞h（x1），即
| f(x1+x2) |
| x1+x2 |
| f(x1) |
| x1 |
∴x1f（x1+x2）＞（x1+x2）f（x1），
同理可得x2f（x1+x2）＞（x1+x2）f（x2），
∴（x1+x2）f（x1+x2）＞（x1+x2）（f（x1）+f（x2）），
∴f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2）（x1＞0，x2＞0）．
于是可猜想：xi＞0（i=1，2，3，…，n）时，有：f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（xn）＜f（x1+x2+x3+…xn）（n≥2）恒成立．
下面证明：则当n=2时，由f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2）（x1＞0，x2＞0）知结论成立；
假设n=k时，结论成立，即f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（xk）＜f（x1+x2+x3+…xk），
则n=k+1时，f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（xk）+f（xk+1）＜f（x1+x2+x3+…xk）+f（xk+1）＜f（x1+x2+x3+…xk+1），
即n=k+1时，结论也成立，
综上所述，xi＞0（i=1，2，3，…，n）时，有：f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（xn）＜f（x1+x2+x3+…xn）（n≥2）恒成立．
③用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1时，左=
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 4 |
右=
| 1 |
| 2×2×3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
（ⅱ）假设n=k时，命题成立．即：
