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已知函数f(x)是(0,+∞)上可导函数,且xf′(x)>f(x)在x>0时恒成立,又g(x)=ln(1+x)-x(x>
已知函数f(x)是(0,+∞)上可导函数,且xf′(x)>f(x)在x>0时恒成立,又g(x)=ln(1+x)-x(x>-1)①求g(x)的最值②求证x1>0,x2>0时...
已知函数f(x)是(0,+∞)上可导函数,且xf′(x)>f(x)在x>0时恒成立,又g(x)=ln(1+x)-x(x>-1)①求g(x)的最值②求证x1>0,x2>0时f(x1+x2)>f(x1)+f(x2)并猜想一个一般结论,加以证明③求证122ln22+132ln32+…+1(n+1)2ln(n+1)2>n2(n+1)(n+2)(n∈N*).
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①∵g′(x)=
-1=-
,
∵当-1<x<0时,g′(x)>0,
∴g(x)在(-1,0)上单调递增;
当x>0时,g′(x)<0,g(x)在(0,+∞)上单调递减;
∴当x=0时,g(x)=ln(1+x)-x取得极大值,由极值的唯一性知,也是最大值,无最小值.
∴g(x)max=g(0)=0.
②∵函数f(x)是(0,+∞)上可导函数,且xf′(x)>f(x)在x>0时恒成立,
令h(x)=
,则h′(x)=
>0在x>0时恒成立,
∴函数h(x)=
在(0,+∞)上是增函数.
∴当x1>0,x2>0时,有x1+x2>0,
∴h(x1+x2)>h(x1),即
>
,
∴x1f(x1+x2)>(x1+x2)f(x1),
同理可得x2f(x1+x2)>(x1+x2)f(x2),
∴(x1+x2)f(x1+x2)>(x1+x2)(f(x1)+f(x2)),
∴f(x1+x2)>f(x1)+f(x2)(x1>0,x2>0).
于是可猜想:xi>0(i=1,2,3,…,n)时,有:f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xn)<f(x1+x2+x3+…xn)(n≥2)恒成立.
下面证明:则当n=2时,由f(x1+x2)>f(x1)+f(x2)(x1>0,x2>0)知结论成立;
假设n=k时,结论成立,即f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xk)<f(x1+x2+x3+…xk),
则n=k+1时,f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xk)+f(xk+1)<f(x1+x2+x3+…xk)+f(xk+1)<f(x1+x2+x3+…xk+1),
即n=k+1时,结论也成立,
综上所述,xi>0(i=1,2,3,…,n)时,有:f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xn)<f(x1+x2+x3+…xn)(n≥2)恒成立.
③用数学归纳法证明:
(ⅰ)当n=1时,左=
ln22=
ln4,
右=
=
?
,由于ln4>1>
,
∴
ln4>
?
,即原不等式成立.
(ⅱ)假设n=k时,命题成立.即:
1 |
1+x |
x |
1+x |
∵当-1<x<0时,g′(x)>0,
∴g(x)在(-1,0)上单调递增;
当x>0时,g′(x)<0,g(x)在(0,+∞)上单调递减;
∴当x=0时,g(x)=ln(1+x)-x取得极大值,由极值的唯一性知,也是最大值,无最小值.
∴g(x)max=g(0)=0.
②∵函数f(x)是(0,+∞)上可导函数,且xf′(x)>f(x)在x>0时恒成立,
令h(x)=
f(x) |
x |
xf′(x)?f(x) |
x2 |
∴函数h(x)=
f(x) |
x |
∴当x1>0,x2>0时,有x1+x2>0,
∴h(x1+x2)>h(x1),即
f(x1+x2) |
x1+x2 |
f(x1) |
x1 |
∴x1f(x1+x2)>(x1+x2)f(x1),
同理可得x2f(x1+x2)>(x1+x2)f(x2),
∴(x1+x2)f(x1+x2)>(x1+x2)(f(x1)+f(x2)),
∴f(x1+x2)>f(x1)+f(x2)(x1>0,x2>0).
于是可猜想:xi>0(i=1,2,3,…,n)时,有:f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xn)<f(x1+x2+x3+…xn)(n≥2)恒成立.
下面证明:则当n=2时,由f(x1+x2)>f(x1)+f(x2)(x1>0,x2>0)知结论成立;
假设n=k时,结论成立,即f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xk)<f(x1+x2+x3+…xk),
则n=k+1时,f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xk)+f(xk+1)<f(x1+x2+x3+…xk)+f(xk+1)<f(x1+x2+x3+…xk+1),
即n=k+1时,结论也成立,
综上所述,xi>0(i=1,2,3,…,n)时,有:f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xn)<f(x1+x2+x3+…xn)(n≥2)恒成立.
③用数学归纳法证明:
(ⅰ)当n=1时,左=
1 |
22 |
1 |
4 |
右=
1 |
2×2×3 |
1 |
4 |
1 |
3 |
1 |
3 |
∴
1 |
4 |
1 |
4 |
1 |
3 |
(ⅱ)假设n=k时,命题成立.即: