Question

设数x在区间（0,1）上随机取值，当观察到X=x（0<x<1）时，数Y在区间（x,1）上随机地取值，求Y的概率密度？

答案是-ln(1-y)为什么？

Answer 1

可以这样理解，当X取到x时，Y取到y的密度为1/(1-x)，所以X，Y的联合密度为：
f(x,y) = 1/(1-x)，这是连续型随机变量，现在要求Y的密度，需要对x积分，因为y取值为(x,1)，所以x取值为(0,y)
所以将f(x,y)在(0,y)上对x积分，最后的结果就是-ln(1-y)。

Answer 2

这道题涉及条件概率。

“数x在区间（0,1）上随机取值”
可知fX(x)=1,0<x<1;0 ,else.
"当观察到X=x（0<x<1）时，数Y在区间（x,1）上随机地取值"
可知fY|X(y|x)=1/(1-x),x<y<1;0,else.
所以联合函数密度=fX(x)*fY|X(y|x)=f(x,y)=1/(1-x),0<x<y<1.
fY(y)=∫f(x,y)dx=∫1/(1-x)dx(从0积到y)=-In(1-y)