Question

设函数fx=|2^x-1|,实数a小于b，且fa小于fb，则a+b取值范围

Answer 1

当x<0时2^x<1  f(x)=1-2^x, 递减；当x>0时2^x>1  f(x)=2^x-1, 递增。实数a小于b，且f(a)小于f(b)，说明a>0,且b>0, 则a+b>0 ,即0<a+b<+∞.参看下列函数图：

Answer 2

a<b,则2^b>2^a>0
f(a)<f(b)
|2^a-1|<|2^b-1|
(2^b-1)^2-(2^a-1)^2>0
(2^b-2^a)(2^b+2^a-2)>0
其中 2^b-2^a>0
只需 2^b+2^a>2
2^b+2^a≥2*2^(a/2+b/2)=2^((a+b)/2+1) 当a=b时取“=”
即2^b+2^a的最小值是2^((a+b)/2+1)。
2^b+2^a>2只需2^((a+b)/2+1)>2
(a+b)/2+1>1
a+b>0
所以 a+b的取值范围是(0,+∞)

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