Question

已知实数a不等于0，函数f(x)=ax(x-2)^2(x属于R).若函数f(x)有极大值32/27，求实数a的值。

Answer 1

f(x)=ax(x-2)^2
f'(x)=a(x-2)^2+2ax(x-2)=a(x-2)(3x-2)=0
x=2或x=2/3
f''(x)=a(6x-8)
a>0,f''(2)>0
取极小值，不合！
f''(2/3)=-4a<0
有极大值32/27=a×2/3×（2/3-2）²
a=1>0
正确！
a<0,f''(2)<0
f(2)=0矛盾。

Answer 2

解：f'(x)=a(x-2)^2+ax*2(x-2)=a(x-2)(3x-2),
f"(x)=a(3x-2)+3a(x-2)=a(6x-8)
由f'(x)=0得x=2或x=2/3。
因f(2)=0，若有极大值32/27，只能是f(2/3)=32a/27=32/27，得a=1。此时f"(2/3)=-4<0，恰满足条件。故a=1

Answer 3

负的1/27 或者负的1/4