Question

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,点D在AB边上且DE⊥BE.

（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）若 AD=2 根 6，AE=6 根2，求BD的长

Answer 1

1、证明：
取BC中点O，连接OE
∵DE⊥BE，O为BC中点
∴以O为圆心，以BO为半径的圆是△BDE的外接圆
∴OE＝OB
∴∠OEB＝∠OBE
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE＝∠CBE
∴∠OEB＝∠CBE
∴OE∥BC
∵∠C＝90
∴∠AEO＝90
∴AC是圆O的切线
∴AC是△BDE的外接圆的切线
2、解：设圆O半径为X
则OE＝OD＝X
∵∠AEO＝90
∴AE²+OE²＝AO²
∵AD＝2√6
∴AO＝AD+OD＝2√6+X
∵AE＝6√2
∴（6√2）²+X²＝（2√6+X）²
72+X²＝24+4√6X+X²
X＝2√6
∴BD＝2OD＝2X＝4√6

Answer 2

(1)证明:∠BED=90°,则BD为⊿BED外接圆的直径,取BD的中点O,连接OE.
∵OE=OB.
∴∠OEB=∠OBE;又∠CBE=∠OBE(已知)
∴∠OEB=∠CBE,得OE∥BC.
故∠AEO=∠C=90°,即AC是⊿BDE外接圆的切线.
(2)解:∵∠AED+∠CEB=90°;∠CBE+∠CEB=90°.
∴∠AED=∠CBE;又∠ABE=∠CBE.
∴∠AED=∠ABE;
又∵∠A=∠A.
∴⊿AED∽⊿ABE,AE/AD=AB/AE,(6√2)/(2√6)=AB/(6√2),AB=6√6.
故BD=AB-AD=6√6-2√6=4√6.

Answer 3

（1）取BD中点O，连接OE，由题知BD为半圆BDE直径，∠DOE=2∠DBE，BE为角平分线，所以∠DOE=∠ABC，所以OE平行于BC。因为DE⊥BE，所以OE⊥AC。所以AC是△BDE的外接圆的切线
（2）设OE为x
x²+AE²=（AD+x）²
BD=2x