Question

概率题：求随机变量参数函数Z=X+Y的密度函数

Z=X+Y
X~U[0,1]
Y~U[-1,0]
（U是指均匀分布）
求Z的密度函数？
应该是用卷积公式，但是我不知道积分的上下限应该是什么？

Answer 1

1.先利用二重积分求分布函数，过程不好细些，你不知道积分的上下限，我就告诉你这个吧：
当z<-1时，F（x）=0
当-1<=z<0时,先对y积分，下限-1上限为z-x；再对x积分，下限为0，上限为z+1；被积函数分别是y和x的概率密度，均为1
当0<=z<1时,为了便于计算，分布函数F（x）=1-Q(x)(否则需分段积分，比较麻烦），求Q(x)也是二重积分，先对y积分，下限z-x上限为0；再对x积分，下限为z，上限为1；被积函数也均为1
当z>=1时，F（x）=1.
2.将分布函数对z求导，即为Z密度函数.

这种题，确定积分上下限用画图的方法，便可清晰的看出，希望能对你有帮助

Answer 2

回答：
X的概率密度函数f(x)是1，Y的概率密度函数f(y)是1，X和Y的联合概率密度f(x, y)=f(x)f(y)也是1。
所以，Z的分布函数F(z)就是∬f(x, y)dxdy，其中积分区域是正方形(0≤x≤1; -1≤y≤0)在X+Y=z左下方的部分。所以，
F(z) = [(z+1)^2]/2, (-1<z<0);
F(z) = 1 - [(1-z)^2]/2, (0<z<1).
f(z) = z+1, (-1<z<0);
f(z) = z-1, (0<z<1).