Question

高一数学是定义在(负无穷,正无穷)上的奇函数,且f（1/2）=2/5

写出f (x)的单调递减区间，并判断f(x)有无最大值或最小值，如果有，求出最值，如果没有，请说明理由 解析式
f(x)=ax+b/x^2+1 是定义在(负无穷,正无穷)上的奇函数,且f（1/2）=2/5

Answer 1

解:∵f(x)=ax+b/x^2+1 是定义在(负无穷,正无穷)上的奇函数
∴f(0)=0
又∵f（1/2）=2/5
∴ b=0
(1/2a+b)/(5/4)=2/5
∴a=1
b=0
∴f(x)=x/(x²+1)
l令x1＜x2
则f(x1)-f(x2)=x1/(x1^2+1)-x2/(x2^2+1)
化简,通分 分母则为(x1^2+1)(x2^2+1) 恒大于0
分子=x1x2^2+x1-x1^2x2-x2
=x1x2(x2-x1)-(x2-x1)
=(x2-x1)(x1x2-1)
由x1＜x2, 则x2-x1＞0
则函数的单调性决定于x1x2-1的正负情况
若-1<x<1,则x1x2<1,x1x2-1<0,分子大于0，是增函数
若x<-1或x>1,则x1x2>1,x1x2-1>0，分子小于0，是减函数
∴f(x)的单调减区间为 (-∞,-1)∪(1,+∞)
∴f(x)min=f(-1)=-1/2
f(x)max=f(1)=1/2

Answer 2

解：∵f(x)=(ax+b)/(x^2+1) 是定义在(负无穷,正无穷)上的奇函数
∴f(0)=(0+b)/(0+1)=b=0
又f(1/2)=(a/2)/(1/4+1)=2/5
∴a=1,b=0
∴f(x)=x/(x²+1)
f'(x)=(-x²+1)/(x²+1)²
令f'(x)=0得：
x=±1
所以f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上递减
在(-1,1)上递增
所以f(x)无最值

Answer 3

f(x)=ax+b/x^2+1 是定义在(负无穷,正无穷)上的奇函数
得：f(-x)=-f(x)，且定义域为R，所以f(0)=0，b=0，而f(1/2)=2/5,有a=1 f(x)=x/（x^2+1），当X≠0时，分子分母同除X f(x)= 1/（x+1/x）
X＞0时候，f(X)≤1/（2*x*1/x）即f(X)≤1/2，X=1时取等号。（X=1/x解得X的平方=1X＜0时，f(x)= -1/（-x+1/-x），f(x)≥-1/2 X=-1时取等号。（-X=1/-x解得X的平方=1，X＝±1，与X＜0取
因此，单调递减区间为（﹣∞，-1/2）∪（1/2，+∞）存在最值为最大值1/2最小值-1/2

Answer 4

奇函数f(0)=0,可得b=0;f(1/2)=2/5知a=1.
f(x)=x/(x^2+1),f'(x)=(1-x)(1+x)/(x^2+1)^2<0,可得x<-1 x>1即为单调递减区间 没有最大和最小值 因为当x趋近与正无穷和负无穷时取得最小和最大值

Answer 5

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