Question

一道几何题

等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M。
（1）求证：△EGM为等腰三角形；
（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论。

Answer 1

解：（1）∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，

∴AC=AB，∠ACB=∠ABC=45°，

又∵AD=AE，∠CAD=∠BAE，

∴△ACD≌△ABE（SAS），

∴∠1=∠3，

∵∠BAC=90°，

∴∠3+∠2=90°，∠1+∠4=90°，

∴∠4+∠3=90°

∵FG⊥CD，

∴∠CMF+∠4=90°，

∴∠3=∠CMF，

∴∠GEM=∠GME，

∴EG=MG，△EGM为等腰三角形．

（2）线段BG、AF与FG的数量关系为BG=AF+FG．

过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N．（见右图）

∵BN⊥AB，∠ABC=45°，

∴∠FBN=45°=∠FBA．

∵FG⊥CD，

∴∠BFN=∠CFM=90°-∠DCB，

∵AF⊥BE，

∴∠BFA=90°-∠EBC，∠5+∠2=90°，

由（1）可得∠DCB=∠EBC，

∴∠BFN=∠BFA，

又∵BF=BF，

∴△BFN≌△BFA（ASA），

∴NF=AF，∠N=∠5，

又∵∠GBN+∠2=90°，

∴∠GBN=∠5=∠N，

∴BG=NG，

又∵NG=NF+FG，

∴BG=AF+FG．点评：本题考查全等三角形的判定及性质，难度较大，尤其是第二问的证明，要学会要判断三条线段之间的关系，一般都需要转化到同一条直线上进行，第二问另外还可以有如下解法，①设CD、BE的交点为N，连接AN（见下图）．先证AF=BN，再证FG=NG，②过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点H（见下图）．先证AH=BE，再证FM=FH，同学们可以自己试一下．

Answer 2

题好像有问题，根据已知条件画出来的图是，点E和点M重合，且E,G,M在同一条直线，请你最好画个图，

Answer 3

∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，
∴AC=AB，∠ACB=∠ABC=45°，
又∵AD=AE，∠CAD=∠BAE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠1=∠3，
∵∠BAC=90°，
∴∠3+∠2=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠4+∠3=90°
∵FG⊥CD，
∴∠CMF+∠4=90°，
∴∠3=∠CMF，
∴∠GEM=∠GME，
∴EG=MG，△EGM为等腰三角形．