Question

证明这个函数在区间上单调递增（导数）

Answer 1

证明：
f(x)=(e^x-x-1)/x²(x>0)
下属讨论全部基于x>0，不再特别注明
f'(x)
=[(e^x-x-1)'x²-(e^x-x-1)(x²)']/x⁴
=[(e^x-1)x²-2x(e^x-x-1)]/x⁴
=[x(e^x-1)-2(e^x-x-1)]/x³
令g(x)=x(e^x-1)-2(e^x-x-1)
则，
g'(x)
=(e^x-1)+xe^x-2(e^x-1)
=(x-1)e^x+1
g''(x)
=xe^x
∵ g''(x)=0，g''(x)单调递增
∴ g''(x)≥g''(0)=0
∴ g'(x)单调递增
∴ g'(x)≥g'(0)=0
∴ g(x)单调递增
∴ g(x)≥g(0)=0
∴ f'(x)≥0
∴ f(x)在(0，+∞)上单调递增
PS：
(1) 多次求导
(2) 附上f(x)=(e^x-x-1)/x²的函数图像

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