Question

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函数f(x)的定义域为D:｛x∣x≠ 0｝且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1*x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1) (2) 判断f(x)的奇偶性并证明 (3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3且f(x)在(0,+∞）上是增函数，求x的取值范围.

Answer 1

（1）∵f(x1*x2)=f(x1)+f(x2).
∴f(1*1)=f（1）+f(1)
∴f(1)=0
(2)f(x*x)=f(x)+f(x)=2f(x)=f(x^2)
f[(-x)*(-x）=f(-x)+f(-x)=2f(-x)=f(x^2)
2f(-x)=2f(x), f(-x)=f(x)
f(x)是偶函数
（3）3=3f(4)=f(4)+f(4)+f(4)=f(64)
∵f(x)是偶函数且在f(x)在(0,+∞）上是增函数
∴f(3x+1)+f(2x-6)≤3
f[(3x+1)(2x-6)≤f(64)
|(3x+1)(2x-6)|≤64
∴(3x+1)(x-3)≤32且(3x+1)(x-3)≥-32
即3x²-8x-35≤0且3x²-8x+29≥0
解3x²-8x-35≤0得 -7/3≤x≤5
解3x²-8x+29≥0得 x∈R
又3x+1≠0,2x-6≠0
∴x≠-1/3且x≠3
综上所述x的取值范围.是
｛x| -7/3≤x≤5 且x≠-1/3且x≠3｝

Answer 2

(1) 令 x1=x2=1,得 f(1)=f(1)+f(1)，所以 f(1)=0
(2)令 x1=x2=-1，得f(1)=f(-1)+f(-1)，2f(-1)=0，所以 f(-1)=0
令 x1=x，x2=-1，得 f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)，所以 f(x)是偶函数。所以 f(x)=f(|x|)。
(3)f(4)=1，则f(16)=f(4)+f(4)=2，f(64)=f(16)+f(4)=3
不等式 f(3x+1)+f(2x-6)≤3可化为 f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64)
从而 f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64)
由 f(x)在(0,+∞）上是增函数，得 |(3x+1)(2x-6)|≤64
即 -64≤6x²-16x-6≤64
-32≤3x²-8x-3≤32
-32≤3x²-8x-3 恒成立，
3x²-8x-3≤32 的解为-7/3≤x≤5
即x的取值范围是：-7/3≤x≤5

Answer 3

1,f(1)=f(1)+f(1),f(1)=0
2f(x)=f(x/2)+f(x/2),f(-x)=f(-x/2)+f(-x/2),f(x)+f(-x)=0
3.f(3x+1)+f(2x-6)≤3,f(3x+1)+f(2x-6)≤f(12)
f是奇函数，故(3x+1)*(2x-6)≤12恒成立
剩下的就是判断b^2-4*a.c≤0就不算了哦