Question

如何证明奇函数在关于原点对称的两个区间单调性相同

Answer 1

证明：
设 0 ≤ x1 < x2, 且 y1 = -x1, y2 = -x2
区间[x1, x2] 与 区间[y2, y1] 关于原点对称

(1) 若奇函数 f(x) 在 区间[x1, x2] 中单调递增，则
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) ⇒ -f(-x1) < -f(-x2) ⇒ -f(y1) < -f(y2) ⇒ f(y1) > f(y2)
而且根据初设，我们有 y1 = -x1, y2 = -x2，因此
x1 < x2 ⇒ y1 > y2 ⇒ f(y1) > f(y2)
证明奇函数 f(x) 在 区间[y2, y1] 上也单调递增

(2) 若奇函数 f(x) 在 区间[x1, x2] 中单调递减，则[同理]
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) ⇒ -f(-x1) > -f(-x2) ⇒ -f(y1) > -f(y2) ⇒ f(y1) < f(y2)
而且根据初设，我们有 y1 = -x1, y2 = -x2，因此
x1 < x2 ⇒ y1 > y2 ⇒ f(y1) < f(y2)
证明奇函数 f(x) 在 区间[y2, y1] 上也单调递减

(3) 若奇函数 f(x) 在 区间[x1, x2] 中的值相同，则[同理]
x1 < x2 ⇒ f(x1) = f(x2) ⇒ -f(-x1) = -f(-x2) ⇒ -f(y1) = -f(y2) ⇒ f(y1) = f(y2)
而且根据初设，我们有 y1 = -x1, y2 = -x2，因此
x1 < x2 ⇒ y1 > y2 ⇒ f(y1) = f(y2)
证明奇函数 f(x) 在 区间[y2, y1] 上的值也相同

情况(1), (2), (3) 共同证明了
[奇函数在关于原点对称的两个区间单调性相同]