Question

数列{an}是首项为1，公比q>0的等比数列，设Tn=a1a2…an。问题如下

（1）若T1，T2，T3，成等差数列，求公比q的值
（2）求证T(n+2)+Tn大于等于[（T1+T2)T(n+1)]

Answer 1

1....T1+T3=2T2,即，a1+a1a2a3=2a1a2……（*）
因为数列{an}是首项为1，公比q>0的等比数列,so,an=q^(n-1)
so,(*)式为 1+q^3=2q, 解得，q=1（∵q>0）
2....T(n+2)+Tn=a1a2…an(a(n+1)a(n+2)+1)
（T1+T2)T(n+1)=（a1+a1a2）a1a2…ana（n+1）
所以要证T(n+2)+Tn大于等于[（T1+T2)T(n+1)]，
即证，a(n+1)a(n+2)+1≥(a1+a1a2)a(n+1)
即证，q^(2n+1)+1≥q^n+q^(n+1)
即证，（q^(n+1)-1)(q^n-1)≥0
因为q>0,所以上式显然成立，

Answer 2

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