Question

f(x),g(x)具有二阶导数,且g''(x)＜0.若g(x0)=a是g(x)的极值,则f[g(x)]在X取得极大值的充分条件是( )

设函数f(x),g(x)具有二阶导数,且g''(x)＜0.若g(x0)=a是g(x)的极值,则f[g(x)]在x0取得极大值的充分条件是( )
A.f'(a)<0 B.f'(a)>0 C.f''(a)<0 D.''(a)>0
答案是B，我也算出来了，但是疑问点在于g(x0)=a的话，那f[g(x0)]=f(a)，必要条件就是f'(a)=0，和答案相悖啊，还有就是为什么不选C呢，
设函数f(x),g(x)具有二阶导数,且g''(x)＜0.若g(x0)=a是g(x)的极值,则f[g(x)]在x0取得极大值的充分条件是( )

A.f'(a)<0 B.f'(a)>0 C.f''(a)<0 D.f''(a)>0
答案是B，我也算出来了，但是疑问点在于g(x0)=a的话，那f[g(x0)]=f(a)，必要条件就是f'(a)=0，和答案相悖啊，还有就是为什么不选C呢

Answer 1

选D吧，从条件可知，g(x)是凸函数，g'(x)是单调减函数，g'(x0)=0,g(x0)=a是极大值，要使f[g(x)]在x0取极大值，应使复合函数在x＜x0时，复合函数的导数＞0，在x＞x0时，导数＜0.对复合函数求导得导数=f'[g(x)]*g'(x),当x＜x0时g'(x)>0,g(x)<g(x0)=a,要使导数>0,应使f'[g(x)]>0,当x>x0时，g'(x)<0,g(x)<g(x0)=a,要使导数<0，应使f'[g(x)}>0,根据函数具有二阶导数，可知一阶导数连续，根据函数性质可知，应选D，f'(a)>0.纯手打

追问

1. g(x0)只说了是极值，并没有说是极大值。

2. 按照你的算法，算出来应该是f''[g(x0)]<0。

3. 导数定义分子上减的应该是一个固定的值。

4. 二阶导大于0取到的是极小值。

Answer 2

我正在纠结这题，纠结和你一样的疑问

刚想了下

“g(x0)=a的话，那f[g(x0)]=f(a)，必要条件就是f'(a)=0”

关键在于问题是f（g（x））在x0取极大值的充分条件，而不是f（x）在x0取最大值的充分条件。

因为他们的波动关系是x0→g（x）→f（g（x））
导致f（g（x））这个函数y与x的对应曲线肯定不像以前y与x的对应关系。降的时候可能升，升的时候可能降。

这个时候f'（a）=0只能说明原先的函数f（x）会在a处取极大值，而不能说明f（g（x））这个函数在a处取极大值。这个时候就只能求f（g（x））的导数了。

我们特别容易出现的一个抽象的思想误区就是潜意识里以为f（g（x））和原先的f（x）函数是差不多的图像关系，只不过要多算 由x求g（x）再求f（g（x））这一步而已，这样就容易懵了，所以我就懵了……

我也不知道我在讲个啥，题主估计早忘记这道题了。

Answer 3

设y=f[g(x)],
则y'=f'[g(x)]*g'(x)
x=x0时，y'=f'[g(x0)]*g'(x0)
由已知得g'(x0)=0,所以y'=0
y''=f''[g(x)]g'(x)+f'[g(x)]g''(x)
x=x0时，y''=f''[gx0]g'(x0)+f'[g(x0)]g''(x0)=f'[g(x0)]g''(x0)
y在x0处取极大值，则y'=0,y''＜0
因为g''(x)＜0所以f'[g(x0)]=f'(a)＞0即得

Answer 4

复合函数 必须先求导 后带值

Answer 5