Question

已知向量a =(sinx ,1),b =(cosx ,-1/2 )

2）求函数f= (x )a *(b -a )的单调递增区间

Answer 1

已知向量a =(sinx ，1)，b =(cosx ，-1/2 )，求函数f(x )=a •(b -a )的单调递增区间
解：b-a=(cosx-sinx，-3/2）
f(x)=a•(b-a)=sinx(cosx-sinx)-3/2=sinxcosx-sin²x-3/2=(1/2)sin2x-(1-cos2x)/2-3/2
=(1/2)sin2x+(1/2)cos2x-2=(1/2)(sinx+cosx)-2=(√2/2)sin(2x+π/4)-2
由-π/2+2kπ<2x+π/4<π/2+2kπ，得-3π/4+2kπ<2x<π/4+2kπ，从而得单增区间为：
-3π/8+kπ<x<π/8+kπ，(k∈Z).

Answer 2

f(x) = a.(b-a) = (sinx,1).(cosx-sinx, -3/2)
= sinxcosx-sinx^2 - 3/2
=sin(2x)/2+cos(2x)/2-2
=√2/2*sin(2x+π/4)-2
所以当2x+π/4∈(-π/2+2kπ,π/2+2kπ)时，函数单调增，所以f(x)的增区间是[-3/8π+kπ，π/8+kπ]
也可以用导数法

Answer 3

f(x) = a.(b-a)
= (sinx,1).(cosx-sinx, -3/2)
= sinx(cosx-sinx) - 3/2