如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B，
（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；
（2）试判断线段AC，AD，BC之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积。（结果保留π） 展开
解：（1）BC所在直线与小圆相切
理由如下：
过圆心O作OE⊥BC，垂足为E
∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O
∴OA⊥AC
又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC
∴OE=OA
∴BC所在直线是小圆的切线．
（2）AC+AD=BC
理由如下：
连接OD．
∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E
∴CE=CA
∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，OA=OE，OD=OB，∠OAD=∠OEB=90°
∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL）
∴EB=AD．
∵BC=CE+EB，
∴BC=AC+AD，
即AC=BC-AD．
（3）∵∠BAC=90°，AB=8，BC=10
∴AC=6
∵BC=AC+AD
∴AD=BC-AC=4
∵圆环的面积S=πOD2-πOA2=π（OD2-OA2）
又∵OD2-OA2=AD2，S=42π=16πcm2．
解：（1）BC所在直线与小圆相切
理由如下：
过圆心O作OE⊥BC，垂足为E
∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O
∴OA⊥AC
又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC
∴OE=OA
∴BC所在直线是小圆的切线．
（2）AC+AD=BC
理由如下：
连接OD．
∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E
∴CE=CA
∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，OA=OE，OD=OB，∠OAD=∠OEB=90°
∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL）
∴EB=AD．
∵BC=CE+EB，
∴BC=AC+AD，
即AC=BC-AD．
（3）∵∠BAC=90°，AB=8，BC=10
∴AC=6
∵BC=AC+AD
∴AD=BC-AC=4
∵圆环的面积S=πOD2-πOA2=π（OD2-OA2）
又∵OD2-OA2=AD2，S=42π=16πcm2．
解：（1）BC所在直线与小圆相切
理由如下：
过圆心O作OE⊥BC，垂足为E
∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O
∴OA⊥AC
又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC
∴OE=OA
∴BC所在直线是小圆的切线．
（2）AC+AD=BC
理由如下：
连接OD．
∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E
∴CE=CA
∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，OA=OE，OD=OB，∠OAD=∠OEB=90°
∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL）
∴EB=AD．
∵BC=CE+EB，
∴BC=AC+AD，
即AC=BC-AD．
（3）∵∠BAC=90°，AB=8，BC=10
∴AC=6
∵BC=AC+AD
∴AD=BC-AC=4
∵圆环的面积S=πOD2-πOA2=π（OD2-OA2）
又∵OD2-OA2=AD2，S=42π=16πcm2．
（2）连接OD,CA是圆O的切线，所以OA垂直AC，所以∠OAD=90，同理可证：∠OEB=90，所以∠OAD=∠OEB=90，OD=OB(同为大圆半径),能证明出RT△OAD全等于RT△OEB，所以AD=BE。同理可证：RT△OAC全等于RT△OEC，所以AC=AE，所以AC+AD=BC
（3）因为BC=AC+AD，BC=10，AC=6，所以AD=4，RT△一个直角边的平方=斜边平方-另一直角边平方(根据勾股定理推断出来的),所以S=π*OD的平方-π*OA的平方=π*AD的平方=16π
∵CO=CO，∠ACO=∠ECO，∠CAO=∠OEC，
∴△OAC≌△OEC，
∴OE=OA，
∴BC是小圆的切线．
（2）证明：连接OD，
在直角三角形AOD与直角三角形EOB中，
∵OD=OB，OA=OE，
∴Rt△AOD≌Rt△EOB，得AD=BE，
∴BC=AD+AC．
（3）解：由（2）可得BE=AD=BC-AC=10-
BC2-AB2
=10-6=4cm，
S圆环=S大圆-S小圆
=π（OB2-OE2）
=π•BE2
=16π（cm2）．
