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如图,在以O为圆心的两个同心圆中,AB经过圆心O,且与小圆相交于点A,与大圆相交于点B,
(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系,并说明理由;
(2)试判断线段AC,AD,BC之间的数量关系,并说明理由;
(3)若AB=8cm,BC=10cm,求大圆与小圆围成的圆环的面积。(结果保留π) 展开
解:(1)BC所在直线与小圆相切
理由如下:
过圆心O作OE⊥BC,垂足为E
∵AC是小圆的切线,AB经过圆心O
∴OA⊥AC
又∵CO平分∠ACB,OE⊥BC
∴OE=OA
∴BC所在直线是小圆的切线.
(2)AC+AD=BC
理由如下:
连接OD.
∵AC切小圆O于点A,BC切小圆O于点E
∴CE=CA
∵在Rt△OAD与Rt△OEB中,OA=OE,OD=OB,∠OAD=∠OEB=90°
∴Rt△OAD≌Rt△OEB(HL)
∴EB=AD.
∵BC=CE+EB,
∴BC=AC+AD,
即AC=BC-AD.
(3)∵∠BAC=90°,AB=8,BC=10
∴AC=6
∵BC=AC+AD
∴AD=BC-AC=4
∵圆环的面积S=πOD2-πOA2=π(OD2-OA2)
又∵OD2-OA2=AD2,S=42π=16πcm2.
解:(1)BC所在直线与小圆相切
理由如下:
过圆心O作OE⊥BC,垂足为E
∵AC是小圆的切线,AB经过圆心O
∴OA⊥AC
又∵CO平分∠ACB,OE⊥BC
∴OE=OA
∴BC所在直线是小圆的切线.
(2)AC+AD=BC
理由如下:
连接OD.
∵AC切小圆O于点A,BC切小圆O于点E
∴CE=CA
∵在Rt△OAD与Rt△OEB中,OA=OE,OD=OB,∠OAD=∠OEB=90°
∴Rt△OAD≌Rt△OEB(HL)
∴EB=AD.
∵BC=CE+EB,
∴BC=AC+AD,
即AC=BC-AD.
(3)∵∠BAC=90°,AB=8,BC=10
∴AC=6
∵BC=AC+AD
∴AD=BC-AC=4
∵圆环的面积S=πOD2-πOA2=π(OD2-OA2)
又∵OD2-OA2=AD2,S=42π=16πcm2.
解:(1)BC所在直线与小圆相切
理由如下:
过圆心O作OE⊥BC,垂足为E
∵AC是小圆的切线,AB经过圆心O
∴OA⊥AC
又∵CO平分∠ACB,OE⊥BC
∴OE=OA
∴BC所在直线是小圆的切线.
(2)AC+AD=BC
理由如下:
连接OD.
∵AC切小圆O于点A,BC切小圆O于点E
∴CE=CA
∵在Rt△OAD与Rt△OEB中,OA=OE,OD=OB,∠OAD=∠OEB=90°
∴Rt△OAD≌Rt△OEB(HL)
∴EB=AD.
∵BC=CE+EB,
∴BC=AC+AD,
即AC=BC-AD.
(3)∵∠BAC=90°,AB=8,BC=10
∴AC=6
∵BC=AC+AD
∴AD=BC-AC=4
∵圆环的面积S=πOD2-πOA2=π(OD2-OA2)
又∵OD2-OA2=AD2,S=42π=16πcm2.
(2)连接OD,CA是圆O的切线,所以OA垂直AC,所以∠OAD=90,同理可证:∠OEB=90,所以∠OAD=∠OEB=90,OD=OB(同为大圆半径),能证明出RT△OAD全等于RT△OEB,所以AD=BE。同理可证:RT△OAC全等于RT△OEC,所以AC=AE,所以AC+AD=BC
(3)因为BC=AC+AD,BC=10,AC=6,所以AD=4,RT△一个直角边的平方=斜边平方-另一直角边平方(根据勾股定理推断出来的),所以S=π*OD的平方-π*OA的平方=π*AD的平方=16π
∵CO=CO,∠ACO=∠ECO,∠CAO=∠OEC,
∴△OAC≌△OEC,
∴OE=OA,
∴BC是小圆的切线.
(2)证明:连接OD,
在直角三角形AOD与直角三角形EOB中,
∵OD=OB,OA=OE,
∴Rt△AOD≌Rt△EOB,得AD=BE,
∴BC=AD+AC.
(3)解:由(2)可得BE=AD=BC-AC=10-
BC2-AB2
=10-6=4cm,
S圆环=S大圆-S小圆
=π(OB2-OE2)
=π•BE2
=16π(cm2).