Question

求∫√(a∧2-x∧2)/x∧4dx

求∫√(a∧2-x∧2)/x∧4dx时用倒代换的方法时（设x=1/t），为什么讨论x>0和x<0时结果一样？希望可以写出详细过程，感谢！

Answer 1

设 x = 1/t, 则

I = ∫[√(a^2-x^2)/x^4]dx = ∫[√(a^2-1/t^2)/(1/t)^4](-dt/t^2)
= -∫t^2√(a^2-1/t^2)dt
当 x > 0 即 t > 0 时
I = -∫t√(a^2t^2-1)dt
= [-1/(2a^2)]∫√(a^2t^2-1)d(a^2t^2-1)
= [-1/(3a^2)](a^2t^2-1)^(3/2) + C
= [-1/(3a^2)](a^2/x^2 - 1)^(3/2) + C
当 x < 0 即 t < 0 时
I = -∫(-t)√[a^2(-t)^2-1]dt = ∫t√[a^2t^2-1]dt
= [1/(2a^2)]∫√(a^2t^2-1)d(a^2t^2-1)
= [1/(3a^2)](a^2t^2-1)^(3/2) + C
= [1/(3a^2)](a^2/x^2 - 1)^(3/2) + C

Answer 2

√(a^2-x^2)/x^4]dx = ∫[√(a^2-1/t^2)/(1/t)^4](-dt/t^2)= -∫t^2√(a^2-1/t^2)dt 当 x > 0 即 t > 0 时 I = -∫t√(a^2t^2-1)dt = [...