Question

已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25 及直线L:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4

（1）求证：直线l恒过定点；（2）判断直线l被圆C截得的弦何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短长度

Answer 1

(1)直线的方程可以化简为：x+y-4+m(2x+y-7)=0
这表示过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0交点的直线系；解方程组得交点为(3,1)
所以直线L:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4恒过定点(3,1)
（2）因为点(3,1)在已知圆的内部，所以当直线L过圆心时截得的弦为直径=10最大；
当直线L与取最大值时的直线垂直时截得的弦最短；由于圆心到定点的距离为√5
所以最短弦长=2√（25-5）=4√5
此时最长弦的斜率=(2-1)/(1-3)=-1/2
所以最短弦的斜率=2；所以 - （2m+1)/(m+1)=2 ; m=-3/4