Question

已知定义在R + 上的函数f（x）满足下列条件：①对定义域内任意x，y，恒有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞

已知定义在R + 上的函数f（x）满足下列条件：①对定义域内任意x，y，恒有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时f（x）＜0；③f（2）=-1（1）求f（8）的值；（2）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；（3）解不等式：f（2 x+2 ）-f（2 x -4）＜-3．

Answer 1

（1）在f（xy）=f（x）+f（y）中，令x=y=2，可得f（4）=f（2）+f（2）=-2， 令x=2，y=4可得，f（8）=f（2）+f（4）=-3， 则f（8）=-3； （2）设0＜x 1 ＜x 2 ＜+∞，则 x 2 x 1 ＞1，则f（ x 2 x 1 ）＜0， f（x 2 ）-f（x 1 ）=f（ x 2 x 1 ?x 1 ）-f（x 1 ）=f（ x 2 x 1 ）＜0， 即f（x 2 ）＜f（x 1 ）， 则f（x）在（0，+∞）为减函数， （3）f（2 x+2 ）-f（2 x -4）＜-3，即f（2 x+2 ）-f（2 x -4）＜f（8）， f（2 x+2 ）＜f（2 x -4）+f（8）=f[8?（2 x -4）]， 又由f（x）在（0，+∞）为减函数， ∴ 2 x+2 ＞8?( 2 x -4) ( 2 x -4)＞0 解得：2＜x＜3 故2＜x＜3．