Question

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE交BF于点H，CG∥AE交BF于点G．下列结论：①tan∠HBE

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE交BF于点H，CG∥AE交BF于点G．下列结论：①tan∠HBE=cot∠HEB；②CG?BF=BC?CF；③BH=FG；④BC2CF2＝BGGF．其中正确的序号是______．

Answer 1

①∵在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF，
∴∠BEA=∠CFB，
∵CG∥AE，
∴∠GCB=∠AEB
∴∠CFG=∠GCB，
∴∠CFG+∠GCF=90°即△CGF为直角三角形，
∴CG∥AE交BF于点G，
∴△BHE也为直角三角形，
∴tan∠HBE=cot∠HEB；
∴①正确．
②由①可得△CGF∽△BCF，
∴

CG

BC

=

CF

BF

，
∴CG?BF=BC?CF，
∴②正确；
③由①得△BHE≌△CGF，
∴BH=CG，而不是BH=FG
∴③BH=FG错误；
④∵△BCG∽△BCF，
∴

BC

BF

=

BG

BC

，即BC²=BG?BF，
同理CF²=BF?GF，
∴

BC2

CF2

=

BG

GF

，
∴④正确，综上所述，正确的有①②④．
故答案是：①②④．