Question

已知f（x）=2x?a2x+1（a∈R）的图象关于坐标原点对称．（1）求a的值，并求出函数F（x）=f（x）+2x-42x+1-

已知f（x）=2x?a2x+1（a∈R）的图象关于坐标原点对称．（1）求a的值，并求出函数F（x）=f（x）+2x-42x+1-1的零点；（2）若函数h（x）=f（x）+2x-b2x+1在[0，1]内存在零点，求实数b的取值范围；（3）设g（x）=log4k+x1?x，已知f（x）的反函数f-1（x）=log21+x1?x，若不等式f-1（x）≤g（x）在x∈[12，23]上恒成立，求满足条件的最小整数k的值．

Answer 1

（1）由题意知f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=0，得a=1，
∴F(x)＝

2x?1

2x+1

+2x?

4

2x+1

?1＝

(2x)2+2x?6

2x+1

，
由（2^x）²+2^x-6=0，得2^x=2，
∴x=1，
即F（x）的零点为x=1．
（2）h(x)＝

2x?1

2x+1

+2x?

b

2x+1

＝

(2x)2+2x+1?1?b

2x+1

，
由题设知h（x）=0在[0，1]内有解，即方程（2^x）²+2^x+1-1-b=0在[0，1]内有解．
∴b=（2^x）²+2^x+1-1=（2^x+1）²-2在[0，1]内单调递增，
∴2≤b≤7，
故当2≤b≤7时，函数h(x)＝f(x)+2x?

b

2x+1

在[0，1]内存在零点．
（3）由f^-1（x）≤g（x），得log2

1+x

1?x

≤log4

k+x

1?x

，k+x≥

(1+x)2

1?x

，
显然x∈[

1

2

，

2

3

]时，k+x＞0，即k≥

2x2+x+1

1?x

．
设m＝1?x，由于x∈[

1

2

，

2

3

]，
∴m∈[

1

3

，

1

2

]，于是

2x2+x+1

1?x

＝

2m2?5m+4

m

＝2m+

4

m

?5∈[4，

23

3

]，
∴k≥

23

3

．
故满足条件的最小整数k的值是8．