Question

已知函数f(x)=ax-lnx. ,g(x)=lnx/x,定义域是（0，e],e是自然对数的底数，a属于R

（1）a=1时，求证：f(m)>g(N)+17/27对一切m,n属于（0，e]恒成立。
（2）是否存在实数a，使得f(x)的最小值是3，存在的话，求出a的值，不存在的话，说明理由

Answer 1

1. f'(x)=1-1/x=(x-1)/x
x∈(0,1),f"(x)<0,f(x)递减
x∈(1,e),'(x)>0,f(x)递增
f(x)(min)=f(1)=1
g'(x)=(1-lnx)/x^2
x∈（0，e],1-lnx≥0,g'(x)≤0,g(x)递增
g(x)(max)=g(e)=1/e+17/27
e>2,7,1/e<10/27,
∴1/e+17/27<10/27+17/27=1
g(x)(max)<1
∴f(m)>g(N)+17/27对一切m,n属于（0，e]恒成立
(2)f(x)=ax-lnx,
f'(x)=a-1/x=(ax-1)/x
a≤0时，ax-1＜0恒成立，f(x）为减函数，
f(x)(min)=f(e)=ae-1 <0,不和题意
a>0时，f'(x)=a[x-1/a)]/x
当 0<1/a<e,即a>1/e时
f(x）在(0,1/a)递减，在（1/a ,e)上递增
f(x)(min)=f(1/a)=1+lna
由 1+lna=3,==>a=e^2
当 1/a≥e, 即 0<a≤1/e时，f(x)在(0,e]递减，
f(x)(min)=f(e)=ae-1
由ae-1=3,得e=4/e 与 0<a≤1/e矛盾
综上所述，符合条件的a存在，a= e^2

Answer 2

(1)a=1时,f(x)=x-lnx，f'(x)=1-1/x
当0<x<1时，f'(x)<0，1<x<=e时,f'(x)>0，所以f(x)在(0,e]上的最小值是f(1)=1
g'(x)=(1-lnx)/x^2，当0<x<=e时，lnx<=1，所以g'(x)>=0，所以g(x)在(0,e]上的最大值是g(e)=1/e
1-1/e>17/27，得证

(2)f'(x)=a-1/x，因为在(0,e]上1/x取值范围是[1/e,无穷)
若a>=1/e，则在x=1/a处f(x)取最小值1+lna
所以a=e^2时，f(x)的最小值是3