Question

在三角形ABC中，已知ABC所对的三条边分别是abc且满足b²=ac。（1）求证0＜B≤π/3；

2）求函数y=1+sin2B/sinB+cosB的最大值

Answer 1

cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
因为a^2+c^2>=2ac,b^2=ac
所以cosB>=(2ac-ac)/2ac=1/2
所以1/2<=cosB<=1
若cosB=1,则B=0,不合题意
所以1/2<=cosB<1
所以B是锐角，此时cos是减函数
cosπ/3=1/2,cos0=1
所以0<B<=π/3

(sinB)^2+(cosB)^2=1
sin2B=2sinBcosB
所以y=[(sinB)^2+(cosB)^2+2sinBcosB]/(sinB+cosB)
=(sinB+cosB)^2/(sinB+cosB)
=sinB+cosB
=√2*sin(B+π/4)
0<B<=π/3
所以π/4<B+π/4<=7π/12
因为7π/12<3π/4,所以sin7π/12>sin3π/4=sinπ/4
所以B+π/4=π/4时，sin(B+π/4)最小=√2/2，y最小=1
B+π/4=π/2时，sin(B+π/4)最大=1，y最大=√2
所以值域(1,√2]
故最大值为√2