Question

如图，已知抛物线y=ax^2+bx+c经过点A(2,3),B(6,1),C(0,-2)

(1)求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化成顶点式；
(2)点P使抛物线对称轴上的动点，当AP⊥CP时，求P点坐标；
(3)设直线BC与x轴交于点D，点H是抛物线与x轴的一个交点，点(t,n)是抛物线上的动点，四边形OEDC的面积为S。当S取何值是，满足条件的点E只有一个？当S取何值时，满足条件的点E有两个？

Answer 1

解：
（1）、把点A(2,3),B(6,1),C(0,-2)代入y=ax^2+bx+c，解得a=-1/2，b=7/2，c=-2，此抛物线的解析式为y=-x^2/2+7x/2-2=-(x-7/2)^2/2+33/8
（2）、抛物线对称轴x=7/2，设P(7/2，Y)，则(7/2-2)^2+(3-Y)^2+(7/2)^2+(Y+2)^2=2^2+5^2
整理得4Y^2-4Y-7=0，解得Y=(1+2根号2）/2或Y=(1-2根号2）/2，所以点P的坐标是[7/2，(1+2根号2）/2]或[7/2，(1-2根号2）/2]
（3）、直线BC的解析式是Y=X/2-2，点D的坐标是（4，0），当S=49/4时，满足条件的点E只有一个为（7/2，33/8），当S=6时，满足条件的点E有两个为（6，1）或（1，1）。