Question

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,设AC=b,BC=a,AB=c,CD=h

1.试说明以a+b，h，c+h所组成的三角形是直角三角形.
2.若a=2006x+2005,b=2006x+2006,c=2006x+2007,求a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac的值。

Answer 1

①﹙a+b﹚²＝a²＋2ab＋b²，h²，﹙c+h﹚²＝c²＋2hc＋h²
∵在RT⊿ABC中：a²＋b²=c²且⊿ABC的面积=ch÷2=ab÷2 ∴hc=ab
∴﹙a+b﹚²＋h²=a²＋2ab＋b²＋h²=c²＋2hc＋h²=﹙c＋h﹚²
∴以a+b，h，c+h为边所组成的三角形是直角三角形
②∵在RT⊿ABC中：a²＋b²=c²
∴﹙2006x＋2005﹚²＋﹙2006x＋2006﹚²＝﹙2006x＋2007﹚²
﹙2006x＋2006﹚²＝﹙2006x＋2007﹚²－﹙2006x＋2005﹚²
2006²﹙x＋1﹚²＝2﹙2·2006x ＋2·2006﹚
2006﹙x＋1﹚²＝4﹙x ＋1﹚
∴x＋1＝0或2006﹙x＋1﹚＝4
∴x=-1﹙此时a=-2006＋2005=-1无意义﹚或x=-1001／1003
∴a=3, b=4, c=5
∴a²＋b²＋c²－ab－bc－ac=3²＋4²＋5²－3×4－4×5－5×3＝3

Answer 2

①﹙a+b﹚²=a²+2ab+b²，h²，﹙c+h﹚²=c²+2hc+h²
∵在RT⊿ABC中:a²+b²=c²且⊿ABC的面积=ch÷2=ab÷2
∴hc=ab
∴﹙a+b﹚²+h²=a²+2ab+b²+h²=c²+2hc+h²=﹙c+h﹚²
∴以a+b，h，c+h为边所组成的三角形是直角三角形
②∵在RT⊿ABC中:a²+b²=c²
∴﹙2006x+2005﹚²+﹙2006x+2006﹚²=﹙2006x+2007﹚²
﹙2006x+2006﹚²=﹙2006x+2007﹚²-﹙2006x+2005﹚²
2006²﹙x+1﹚²=2﹙2·2006x
+2·2006﹚
2006﹙x+1﹚²=4﹙x
+1﹚
∴x+1=0或2006﹙x+1﹚=4
∴x=-1﹙此时a=-2006+2005=-1无意义﹚或x=-1001/1003
∴a=3,
b=4,
c=5
∴a²+b²+c²-ab-bc-ac=3²+4²+5²-3×4-4×5-5×3=3