Question

如图，D,E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE的周长相等。

设BC＝a，AC＝b，AB＝c。
（1）求AE和BD的长；
(2)若∠BAC＝90°，△ABC的面积为S，求证：S等于AE*BD

Answer 1

﹙1﹚
∵△ABD与△ACD的周长相等 ∴AB＋BD=AC＋DC=½﹙AB＋BC＋AC﹚=½﹙a＋b＋c﹚
同理∵△CAE与△CBE的周长相等 ∴AC＋AE=BC＋BE=½﹙a＋b＋c﹚
∴AC＋DC=AC＋AE ∴DC=AE
∵AC＋DC=½﹙a＋b＋c﹚且AC＋AE=½﹙a＋b＋c﹚
∴2AC＋DC＋AE=a ＋b ＋c即2b＋2AE =a＋b＋c
∴AE =½﹙a＋c－b﹚
∵AB ＋BD=½﹙a＋b＋c﹚ ∴c＋BD =½﹙a＋b＋c﹚
∴BD =½﹙a＋b－c﹚
﹙2﹚若∠BAC＝90°，则△ABC的面积为S=½AB·AC=½bc
∵∠BAC＝90° ∴AB²＋AC²＝BC²即b²＋c²＝a²
而根据前面可得：AE·BD ＝½﹙a＋c－b﹚·½﹙a＋b－c﹚
AE·BD＝¼[a²－﹙b－c﹚²]
AE·BD＝¼[a²－b²＋2bc－c²] ∵b²＋c²＝a²
∴AE·BD＝½bc
∴△ABC的面积为S=AE·BD