Question

求一道奥数题

200名同学编为1至200号面向南站成一排。第一次全体同学向右转（转后所有同学面向西）；第2次编号为2的倍数的同学向右转；第3次编号为3的倍数的同学向右转……第200次编号为200的倍数的同学向右转；这时面向东的同学有（ ）名。

Answer 1

一个正整数约数（包括1和本身）的个数等于将它分解质因数后，每个质因数次数加一后的乘积。
由于最后面向东的同学的转动次数为 4k + 3 (k = 0 , 1, 2, ...)，均为奇数，故其编号分解质因数后每个质因数的次数均为偶数（只有这样，加一后都是奇数，其乘积才会是奇数），因此编号是完全平方数。200以内的完全平方数只有14个（1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196），可以逐个考察，得出答案。
例如 144 = 2 ^ 4 x 3 ^ 2，其约数个数为 (4 + 1)(2 + 1) = 15 个，15 = 4 x 3 + 3 (4k + 3 的形式)，故满足要求。
逐个考察后，发现4，9，25，49，64，121，144，169的 约数个数 可写成 4k + 3 的形式。
即编号为上述8个数的8位同学将转 4k + 3 次，最终面向东方。故答案为 8 。
注：关于符号 “ ^ ”，上述文字中，2 ^ 4 表示 2 的 4 次方。
对第一句话的补充说明：正整数 1 没有质因数，可理解为质因数的次数为 0 。

Answer 2

每个人转动的次数与这个人的编号有关。最后面向东的同学其转动次数必须是3次、7次，故编号必须是（1）质数的完全平方数(转三次)：4、9、25、49、121、169，
（2）2^6(转七次）：64
(3) 12^2(转15次)：144
这时面向东的同学有（8）名。

Answer 3

就是转三次 转7次，转11次 到两百次的同学；