Question

证明：数列｛an｝为等差数列的充要条件是数列｛an｝的前n项和为sn=an²+bn（其中啊a，b为常数）

帮忙解决一下，说详细点，谢了

Answer 1

假设｛an｝是公差为d等差数列，则
sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+....+(a1+(n-1)d)
=na1+d*n(n-1)/2
＝0.5d*n^2+(a1-0.5d)n。

反过来设sn=a*n^2+b*n
则an=sn-sn-1=an^2+bn -a(n-1)^2-b(n-1)
=2a*n+b-a
an-an-1=2a,所以是{an}是等差数列

Answer 2

证明：充分性：
sn=an²+bn
sn-1=a(n-1)²+b(n-1)
故an=sn-sn-1=an²+bn-[a(n-1)²+b(n-1)]=2an-a+b=(a+b)+(n-1)*2a=a1+(n-1)d
故an是以a+b为首项，公差为2a的等差数列。
必要性：设an=a1+(n-1)d=(a1-d)+nd
则sn=n(a1-d)+d*n(n+1)/2=1/2*dn^2+(a1-d/2)n=an^2+bn
其中a=d/2，b=a1-d/2。
故数列｛an｝为等差数列的充要条件是数列｛an｝的前n项和为sn=an²+bn（其中啊a，b为常数）