Question

已知函数f(x)=e^x+2x^2-3x.求证函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点

Answer 1

f(x)=e^x+2x^2-3x
f'(x)=e^x+4x-3
f'(0)=-2<0,f'(1)=e+1>0，f''(x)=e^x+4>0，故f'(x)=0在区间[0,1]上必有唯一一根x0∈[0,1],而f''(x)=e^x+4>0，故f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极小值点。

Answer 2

f'(x)=e^x+4x-3
f'(0)=e^0+4*0-3=-2<0
f'(1)=e^1+4*1-3=e+1>0
f''(x)=e^x+4>0
f'(x)在定义域是单调增加，所以在区间[0,1]上必有唯一的零点，即f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点

Answer 3

f'(x)=e^x+4x-3，易知f'(x)是R上的增函数，
由f'(0)=-2<0，及f'(1)=e+1>0知 f‘(x)在区间[0,1]上存在唯一的零点，
从而函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点。

追问

当x=0时f'(x)小于0的啊怎么在R上增啊

Answer 4

极值点一定是驻点,而驻点不一定是极值点,求证一阶导数等于0的点在0到1之间即可.

Answer 5

对原函数求导f‘(x)=e^x+4x-3
当x=1
f‘(1)=e+4-3=e+1
f(1)=e+2-3=e-1
所以切线方程
y-f(x)=(e+1)(x-1)
y=(e+1)x-2
若f(x)>=2分之5x^2+(a-3)x+1恒成立
a≤(e^x-1/2*x^2-3x-1)憨孩封绞莩悸凤溪脯娄47;x
设g（x）=(e^x-1/2*x^2-3x-1)/x
对其求导
g'(x)=((x-1)e^x-1/2*x^2+1)
g"(x)=x(e^x-1)>0
故g'(x)=((x-1)e^x-1/2*x^2+1)单调递增
g'(0)=0
故g（x）=(e^x-1/2*x^2-3x-1)/x最小值为g（1）所以a≤e-9/2

Answer 6

f'(x)=e^x+4x-3
f'(0)=e^0+4*0-3=-2<0
f'(1)=e^1+4*1-3=e+1>0
f''(x)=e^x+4>0
f'(x)在定义域是单调增加，所以在区间[0,1]上必有唯一的零点，即f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点