Question

【急！！！】已知x、y、z是非负实数，x^2+y^2+z^2=1，求证：1<=x/(1+yz)+y/(1+zx)+z/(1+xy)<=sqrt(2)。

左边我自己证出来了，主要是右边，求高手啊！另外，右边的一个界点取值为(x,y,z)=(0,sqrt(2)/2,sqrt(2)/2)。
高中题，超纲的方法就免了，谢谢~

Answer 1

右边的确很难证……这个题有竞赛难度了吧……做得我一个普通高中生头皮发麻不止
牢骚完毕，下面是证明：（左边你整出来了，我就不打了）

由于原式有对称性，所以不妨假设x≤y≤z
那么x/(1+yz)+y/(1+zx)+z/(1+xy)≤（x+y+z）/（1+xy）
那么我们就只需证明（x+y+z）/（1+xy）≤√2，
即x+y+z-√2·xy≤√2
即x+y+√（1-x2-y2）-√2·xy≤√2

令u=x+y，v=xy，那么只需证明
1-u²+2v≤（√2+√2·v-u）²
即2u²-2√2·uv+2v²-2√2·u+2v+1≥0
即（√2·u-v-1）²+v²≥0

最后这个式子显然成立，等号当且仅当u=√2/2，v=0，即x=0，y=√2/2（此时z=√2/2）时成立。
综上，证毕。

Answer 2

3/(1+x*y)+1/(1+y*z)+1/(1+x*z)=1/(1+x*y)+1/(1+x*y)+1/(1+x*y)+1/(1+y*z)+1/(1+x*z)
去调和平均值hn=5/(1/(1+x*y)+1/(1+x*y)+1/(1+x*y)+1/(1+y*z)+1/(1+x*z))
根据调和平均值不等式：hn≤an即：hn≤((1+x*y)+(1+x*y)+(1+x*y)+(1+y*z)+(1+x*z))/5
所以，1/(1+x*y)+1/(1+x*y)+1/(1+x*y)+1/(1+y*z)+1/(1+x*z)≥25/(5+3x*y+y*z+x*z)
3x*y+y*z+x*z≤3/4*(x+y)*(x+y)+(x+y)*z=1/4*(x+y)*(3x+3y+4z)
5(x+y)*(3x+3y+4z)≤((8x+8y+4z)/2)^2=4
所以3x*y+y*z+x*z≤1/4*4/5=1/5
25/(5+3x*y+y*z+x*z)≥125/26
所以3/(1+x*y)+1/(1+y*z)+1/(1+x*z)≥125/26
等号成立等价于x=y=z=1/5