Question

复变函数，求解析函数

复变函数，求解析函数任意数作为v（x,y）=2x^2-2y+x

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Answer 1

根据v的表达式得到其对y的偏导数为
vy=-2；
根据柯西-黎曼方程得到ux=vy=-2；
上式对x积分，得到u=-2x+C(y)。
上式对y求导，得到uy=C'(y)；
另外，根据v的表达式，对x的偏导数为
vx=4x+1，
根据柯西-黎曼方程有uy=-vx，即
C'(y)=4x+1.
这显然不可能成立。所以不存在这样的解析函数f，使得f=u+iv（其中u是实函数）。
其实单独从v的表达式来看，其对x的二阶偏导数为4，对y的二阶偏导数为0，两者之和不等于0，所以v 不是调和函数，因此v不可能是某个解析函数的虚部或者实部。