Question

函数f(x)=x^3-ax^2+(a^2-1)x在(负无穷,0)上是增函数,求a的范围

Answer 1

f'(x)=3x²-2ax+a²-1
f(x)在(负无穷,0)上是增函数，则f'(x)≧0对x≦0恒成立；
f'(x)是开口向上，对称轴为x=a/3的二次抛物线；
1、当a/3<0，即a<0时，f'(x)在(负无穷,0)上的最小值为f'(a/3)，则f'(a/3)≧0;
f'(a/3)=a²/3-2a²/3+a²-1=2a²/3-1≧0
得：a≧√6/2或a≦-√6/2
又a<0.，所以：a≦-√6/2
2、当a/3≧0，即a≧0时，f'(x)在(负无穷,0)上的最小值为f'(0)，则f'(0)≧0;
f'(0)=a²-1≧0
得：a≧1或a≦-1
又a≧0.，所以：a≧1
综上，a的范围是：a≦-√6/2或a≧1

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Answer 2

f'(x)=3x²－2ax＋(a²－1)，则当x∈(－∞，0)时，f'(x)=3x²－2ax＋(a²－1)≥0恒成立，则：
f'(x)是个开口向上的抛物线，其对称轴是x=(1/3)a
1、若a>0，则f'(x)的对称轴在y轴右侧，此时只需要f'(0)≥0即可，得：a≥1；
2、若a=0，此时f'(x)=3x²－1，不满足；
3、若a<0，此时f'(x)的对称轴在y轴左侧，此时只需要f'((1/3)a)≥0即可，得：(2/3)a²－1≥0，得：a≤－(√6)/2
综合，有：a≥1或a≤－(√6)/3

Answer 3

f'(x)=3x^2-2ax+(a^2-1)
x<0时，f'(x)>=0
现求f'(x)在x<0时的最小值
对称轴为x=a/3>0时，最小值为f'(0)=a^2-1>=0, 得：a>=1
对称轴为x=a/3<0时，最小值为f'(a/3)=2a^2/3-1>=0, 得： a<=-√(3/2)
综合得：a>=1 or a<=-√(3/2)

Answer 4

f'(x)=3x^2-2ax+a^2-1开口向上，对称轴为x=a/3，判别式=-8a^2+12。
1)若判别式<=0，即a<=-√6/2或a>=√6/2，此时命题成立。
2)若判别式>0，则要求：a/3>=0且f'(0)>=0，即a>=1。
总之，a的取值范围是(-无穷,-√6/2)U(1,+无穷)。