Question

如图，抛物线经过A(4，0），B(1，0），C（0，2）三点

如图，抛物线经过A(4，0），B(1，0），C（0，2）三点
（1）求出抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，连接AD、DB、BC，求四边形ADBC的面积；
（3）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为y=ax^2+bx+c得：16a+4b+c=0 a+b+c=0 c=2
解得：a＝1/2 b＝-5/2 c＝2
所求抛物线的解析式为：y=1/2x^2-5/2x+2
（2）-b/2a=5/2 (4ac-b^2)/4a=-9/8 所以抛物线的顶点为D（5/2，-9/8）
AB=︳B-A ︳＝3 D到X轴的距离为9/8
△ABC的面积为（1/2）*3*2＝3 △ADB的面积为（1/2）*3*（9/8）＝27/16
所以四边形ADBC的面积为（3+27/16）＝75/16
（3）因为△APM~△OAC 得OC/AM=OA/PM或OC/PM=OA/AM 即：2/AM=4/PM或2/PM=4/AM
设M（X，0），P（X，Y）得：AM= ︳X-4 ︳ PM= ︳Y ︳
得：2/︳X-4 ︳= 4/︳Y ︳........[1] 或2/︳Y ︳= 4/︳X-4 ︳ ..........[2]
又P在抛物线y=1/2x^2-5/2x+2上得：Y=1/2X^2-5/2X+2.............[3]
联立[1][3]组成方程组解得：X1=5 X2=4 X3=3 Y1=2 Y2=0 Y3=-1
联立[2][3]组成方程组解得：X4=4 X5=2 X6=0 Y4=0 Y5=-1 Y6=2
综上所述，存在点P，其坐标为P1（5，2）， P2（4，0）， P3 （3，-1），
P4（2，-1）， P5 （0，2）

Answer 2

第一问的解析式y=-1/2x^2+5/2x-2
第三问： ①当△OAC∽△MPA时，OA/OC=MP/MA=2/1
（Ⅰ）（1/2m^2 －5/2m+2） ：（4-m）=2：1 求得m1=4（舍去）m2=-3
（Ⅱ）（1/2m^2 －5/2m+2） ：（m－4）=2：1 求得m3=4（舍去）m4=5
②当△OAC∽△MAP时，同理求得m5=4（舍去） m6=2
所以，综上所述，得P1（-3,　-14）、P2（5,　-2）、P3（2,　1）