Question

设f(x)为连续函数,且满足f(x)=1+xf(t)dt/t^2从1到X的积分,试求f(x)

Answer 1

两边对x求导f'(x)=∫f(t)/t²dt+f(x)/x，移项f'(x)-f(x)/x=∫f(t)/t²dt，在求导f''(x)-[f'(x)x-f(x)]/x²=f(x)/x²，整理得到f''(x)-f'(x)/x=0，然后设f'(x)=p，所以f''(x)=dp/dx，dp/dx=p/x，然后得到p=cx，f(x)=c1x²+c2

追问

两边对X求导，右边f(x)/x是怎样得来的

追答

x∫f(t)/t²dt乘积求导啊，对x求导等于∫f(t)/t²dt+xf(x)/x²

追问

是运用（UV）'=U'V+UV'吗

追答

对，从1到x积分是变限积分，求导直接把x带进去就行了

追问

p=cx是怎么来的

追答

dp/dx=p/x，dx移到右边，p移到左边，1/p dp=1/x dx 然后就是lnp=lnx+c,p=cx