Question

以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K,

过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．
(1)求证：AE=CK
（2）如果AB=a，AD= 1a/3（a为大于零的常数），求BK的长：
（3）若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长

Answer 1

解：（1）∵DH∥KB，BK⊥AC，∴DE⊥AC，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EAD=∠KCB，
∴Rt△ADE≌Rt△CBK，∴AE=CK.
（2）在Rt△ABC中，AB= ，AD=BC= ，∴ = = ，
∵S△ABC= AB×BC= AC×BK，∴BK= = = .
（3）连线OG，∵AC⊥DG，AC是⊙O的直接，DE=6，∴DE=EG=6，又∵EF=FG，∴EF=3；∵Rt△ADE≌Rt△CBK，∴DE=BK=6，AE=CK，
在△ABK中，EF=3，BK=6，EF∥BK，∴EF是△ABK的中位线，∴AF=BF，AE=EK=KC；在Rt△OEG中，设OG= ，则OE= ，EG=6， ，∴ ，∴ .
在Rt△ADF≌Rt△BHF中，AF=BF，
∵AD=BC，BF∥CD，∴HF=DF，
∵FG=EF，∴HF-FG=DF-EF，∴HG=DE=6.

Answer 2

连接GO，
易得三角形ADE全等于三角形CBK （AAS）
所以AE=CK
2.BK=十分之根号十倍a
3.半径是 二分之九倍根号二
GH=6

Answer 3

解：DG是圆的弦，又有AE⊥GD得GE=ED，
∵DE=6，
∴GE=6，
又∵F为EG中点，
∴EF=1/2EG=3，
∵△BKC≌△DEA，
∴BK=DE=6，
∴EF=1/2BK，且EF∥BK，
∴△AEF∽△AKB，且相似比为1：2，
∴EF为△ABK的中位线，
∴AF=BF，
又∵∠ADF=∠H，∠DAF=∠HBF=90°，
∴△AFD≌△BFH（AAS），
∴HF=DF=3 6=9，
∴GH=6，
∵DH∥KB，BK⊥AC，四边形ABCD为矩形，
∴∠AEF=∠DEA=90°，
∴∠FAE ∠DAE=∠FAE ∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠DAE，
∴△AEF∽△DEA，
∴AE：ED=EF：AE，
∴AE2=EF•ED=3×6=18，
∴AE=3√2，
∵△AED∽△HEC，
∴AE/EC=ED/HE=1/2，
∴AE=1/3AC，
∴AC=9√2，
则AO=9√2/2，
故⊙O的半径是9√2/2，GH的长是6．
要证明F是AB中点连接GB
∵BK⊥AC，DH∥KB

∴DH⊥AC

∴∠BAC=∠ADE=∠ABG

∠BFG=∠AFE

EF=GF
∴△BFG≌△AFE

∴AF=BF

∴F是AB中点

Answer 4

粗略的写吧。。。
先证eaf全等gbf
得到ae=bg
然后证dae全等hbg
就得到gh=6
之后看三角形dgb中有角deo=角dgb=90°；o2为中点就可得到ef=fg=3
最后半径就是算数了半径为(9√2)/2