Question

对于函数Y=F（X）（X属于D，D为此函数的定义域），若同时满足下列两个条件：

对于函数Y=F（X）（X属于D，D为此函数的定义域），若同时满足下列两个条件：
1、F（X）在D内单调递增或单调递减；
2、如果存在区间[A，B]属于D，使F（X）在[A，B]上的值域为[A，B]，那么把Y=F（X），X属于D叫闭函数。若Y=K+根号下X（K小于0）是闭函数，求实数K的取值范围。

Answer 1

(1)、易得：y=-x^3是[a，b]上的减函数
∴f(a)=-a^3=b
f(b)=-b^3=a
∴f(b)/f(a)=a/b=-b^3/-a^3
∴a/b=±1
又∵－a^3=b，
∴a=-1，b=1
∴所求区间为[－1，1]
(2)、∵f ′(x)=3/4-1/x^2，x∈(0，＋∞)，
令f ′(x)=3/4-1/x^2＞0，得x＞(2/3)√3
∴x＞(2/3)√3时，f(x)为（(2/3)√3 ，＋∞）上的增函数。
令f ′(x)=3/4-1/x^2＜0，得0＜x＜(2/3)√3
∴f(x)为（0，(2/3)√3 ）上的减函数．
∴f(x)不是（0，＋∞）上的单调函数．
∴f(x)不是（0，＋∞）上的闭函数． (3)、易知f(x)=k+√(x+2)是[－2，＋∞)上的增函数．由√(x+2)≥0，得f(x)≥k (*)
设f(x)=k＋√(x+2)满足条件②的区间是[a，b]
则f(a)=a,f(b)=b，由此可知
方程f(x)=x的两根是a，b，且a≠b
整理方程f(x)=x得
x^2-(2k+1)x+k^2-2=0
△=(2k+1)^2-4(k^2-2)=4k+9
令△＞0，解得k＞-9/4
x1=[(2k+1)-√(4k+9)]/2，x2=[(2k+1)+√(4k+9)]/2
由(*)得x1≥k，解得-9/4≤k≤-2
由√(x+2)≥0得x+2≥0，即x1≥-2，解得k≥-9/4
综上，函数y=k+√(x+2)为闭函数，k的取值范围是-9/4＜k≤-2