Question

已知数列{an}中，a1=5,an=2an-1+2的n此方-1(n为大于等2的）

Answer 1

1.
an=2a(n-1)+2ⁿ-1
an-1=2a(n-1)-2+2ⁿ
an-1=2[a(n-1)-1]+2ⁿ
等式两边同除以2ⁿ
(an-1)/2ⁿ=[a(n-1)-1]/2^(n-1)+1
(an-1)/2ⁿ-[a(n-1)-1]/2^(n-1)=1，为定值。
(a1-1)/2=(5-1)/2=4/2=2
数列{(an-1)/2ⁿ}是以2为首项，1为公差的等差数列。
即存在实数y=-1，使数列{(an+y)/2ⁿ}为等差数列。
2.
(an-1)/2ⁿ=2+(n-1)=n+1
an=(n+1)2ⁿ+1=n×2ⁿ+2ⁿ+1
Sn=a1+a2+...+an=(1×2+2×2²+...+n×2ⁿ)+(2+2²+...+2ⁿ)+n
令Cn=1×2+2×2²+3×2³+...+n×2ⁿ
则2Cn=1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ+n×2^(n+1)
Cn-2Cn=-Cn=2+2²+...+2ⁿ+n×2^(n+1)
Cn=n×2^(n+1)-(2+2²+...+2ⁿ)
Sn=Cn+(2+2²+...+2ⁿ)+n
=n×2^(n+1)-(2+2²+...+2ⁿ)+(2+2²+...+2ⁿ)+n
=n×2^(n+1)+n