Question

已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a-c)·(b-c)=0则|c|的最大值是？

RT，要详细解答，我看了网上好多回答都没看懂

Answer 1

可以用直角坐标系的方法设a向量（1，0）b向量（0，1）这二者相互垂直都是单位向量，c向量（x，y）
（a-c)·(b-c)=（1-x，-y）·（-x，1-y）=x^2-x+y^2-y=(x-0.5)^2+(y-0.5)^2-0.5=0【向量点乘运算】
所以到（0.5，0.5）点的距离为√2/2,c向量末点的轨迹是个圆！！！！，圆上的点到原点的距离的最大值就是c向量的最大值，作图得为√2/2+√0.5=√2

当然用纯代数的方法也可以做出类

追问

从 ” 所以到（0.5，0.5）点的距离为√2/2,c向量末点的轨迹是个圆！！！！，圆上的点到原点的距离的最大值就是c向量的最大值，作图得为√2/2+√0.5=√2“
开始 一塌糊涂

追答

网上这种数形结合的东西不好表达啊！！不好意思
那个圆就是c的轨迹，从图上可以找到c的模的最大最小值

追问

我就是不理解为啥C向量末点轨迹是个圆，怎么由x^2-x+y^2-y=(x-0.5)^2+(y-0.5)^2-0.5=0就知道到（0.5，0.5）点的距离为√2/2的，谢谢了

追答

x-0.5)^2+(y-0.5)^2-0.5=0这个轨迹是圆吧？
你看这里的x，y的含义是什么？
是c向量的坐标表示吧？（x，y）就是c向量的末点坐标呗

追问

x-0.5)^2+(y-0.5)^2-0.5=0怎么轨迹就是圆了，我高一，是不是还没学呢啊

追答

好像是还没学到，哈哈
x^2+y^2=1这是圆的方程吧？(x-0.5)^2+(y-0.5)^2-0.5=0实际上就是再这个单位圆的基础上进行平移后再缩小
以后你会学到的！

Answer 2

（解析法）
解：
∵|a|=|b|=1,且a⊥b
∴可设a=(1,0) b=(0,1)
另外，设c=(x,y),则|c|²=x²+y²
同时，
a-c=(1-x,y) b-c=(-x, 1-y)
∴由题设（a-c)(b-c)=0可得
（1-x,-y)(-x,1-y)=0
∴x(x-1)+y(y-1)=0
整理可得: [x-(1/2)]²+[y-(1/2)]²=1/2
∴可设
x=(√2/2)cost+(1/2)
y=(√2/2)sint+(1/2)
∴|c|²
=x²+y²
=(1/2)+(1/2)+(√2/2)[sint+cost]
=1+sin[t+(π/4)]
∴|c|²=1+sin[t+(π/4)]
显然,恒有|c|²=1+sin[t+(π/4)]≤2
∴|c|≤√2
∴(|c|)max=√2

追问

∴可设
x=(√2/2)cost+(1/2)
y=(√2/2)sint+(1/2)
∴|c|²
=x²+y²
=(1/2)+(1/2)+(√2/2)[sint+cost]
=1+sin[t+(π/4)]
∴|c|²=1+sin[t+(π/4)]
显然,恒有|c|²=1+sin[t+(π/4)]≤2
∴|c|≤√2
∴(|c|)max=√2
这个没懂，t是什么，后面这些都啥意思啊

追答

可以慢慢看嘛。

追问

看不懂额

Answer 3

已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a-c)•(b-c)=0则|c|的最大值是？
解析：∵a，b是平面内两个互相垂直的单位向量
∴|a|=|b|=1, a•b=0
∵(a-c)(b-c)=0
a•b-a•c-b•c+c^2=0==>c^2-ac-bc=0==>c^2-c(a+b)=0
∵|c|≠0,|a|≠0,|b|≠0 ∴c=a+b
即向量c=向量a+向量b
∴c^2=a^2+b^2+2ab==> c^2=a^2+b^2
∵|c|^2=c^2,|a|^2=a^2,|b|^2=b^2
∴|c|^2=|a|^2+|b|^2=2==>|c|=√2
∴|c|的最大值是√2

追问

这不相当于直接算出了一个c的值么，怎么就知道这个值是最大的啊

追答

我认为此题，就应该是是求｜c|
当|c|≠√2时，a⊥b,(a-c)不可能垂直于(b-c)

Answer 4

由题意得：a·b=0
(a-c)(b-c)=0
a·b-a·c-b·c+c^2=0
c^2-ac-bc=0
|c|^2-|a||c|cosA-|b||c|cos(∏/2-A)=0
|c|^2-|a||c|cosA-|b||c|sinA=0
|c|(|c|-|a|cosA-|b|sinA)=0
|c|=0(舍)，|c|=|a|cosA+|b|sinA=cosA+sinA
因为0<A<∏/2
根据sin和cos的图像，得知：
A最大为∏/4，所以|c|=2^(1/2)

Answer 5

a.b-a.c-c.b+|c|2=0,-|c|cosθ-|c|sinθ+|c|2=0,|c|=sinθ+cosθ=√2sin(θ+pai/4)
|c|max=√2
θ为a与c的夹角。90-θ为b与c夹角。用诱导公式。