Question

1+tan²x为什么等于1/cos^2

证明三角恒等式
（1＋tan^2 Θ）（1－sin^2 Θ）＝1
证明他们相等．
1－sin^2 Θ
为什么等于cos^2 Θ呢
1＋tan^2 Θ
为什么等于sin^2 Θ呢!

Answer 1

因为tan²x=（sinx/cosx）²，所以1+tan²x=1+sin²x/cos²x=（cos²x+sin²x）/cos²x，因为sin²x+cos²x=1。所以1+tan²x=1/cos²x。

关于三角函数的一些已证明的恒等式。

诱导公式：

定名法则

90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同，奇变偶不变”。

定号法则

将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是“象限定号，符号看象限”（或为“奇变偶不变，符号看象限”）。

在Kπ/2中如果K为偶数时函数名不变，若为奇数时函数名变为相反的函数名。正负号看原函数中α所在象限的正负号。

关于正负号有个口诀；一全正，二正弦，三两切，四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角，正弦为正，第三象限，正切和余切为正，第四象限，余弦为正。或简写为“ASTC”，即“all”“sin”“tan+cot”“cos”依次为正。还可简记为：sin上cos右tan/cot对角，即sin的正值都在x轴上方，cos的正值都在y轴右方，tan/cot 的正值斜着。

Answer 2

SINΘ=Y/R,COSΘ=X/R,SIN²Θ=Y²/R²,COS²Θ=X²/R²
这样SIN²Θ+COS²Θ=（X²+Y²）/R²,而X²+Y²因勾股定理=R²,因此=R²/R²=1
这式可变形成1-SIN²Θ=COS²Θ
因此原式=（1＋tan²Θ）COS²Θ
tan²Θ=SIN²Θ/COS²Θ
那么COS²Θ乘进去得 COS²Θ+SIN²Θ
这样就是一开始证明的公式SIN²Θ+COS²Θ=1了