Question

已知函数f(x)=Inx, g (x)=e ^x

1、若函数ψ（x）=f(x)-((x+1)/(x-1))，求函数ψ（x）的单调区间
2、设直线l为函数y=f(x)的图象上一点A（x0,f(x0)）处的切线，证明：在区间（1，+无穷）上存在唯一的x0，使得直线与曲线y=g(x)相切

Answer 1

已知函数f(x)=Inx, g (x)=e ^x
1、若函数ψ（x）=f(x)-((x+1)/(x-1))，求函数ψ（x）的单调区间
2、设直线l为函数y=f(x)的图象上一点A（x0,f(x0)）处的切线，证明：在区间（1，+无穷）上存在唯一的x0，使得直线与曲线y=g(x)相切
解：(1).ψ(x)=lnx-[(x+1)/(x-1)]，定义域：x>0，且x≠1.
ψ′(x)=(1/x)-[(x-1)-(x+1)]/(x-1)²=(1/x)+2/(x-1)²=[(x-1)²+2x]/[x(x-1)²]=(x²+1)/[x(x-1)²]
由于x>0，故在其定义域内恒有ψ′(x)>0，即在其定义域(0，1)∪(1，+∞)内，ψ(x)都是单调增加。
(2). f(x)=lnx，f′(x)=1/x，当x=e^(n/e)(n∈N+)时，f′[e^(n/e)]=1/[e^(n/e)]；故y=f(x)上存在一点
(e^(n/e)，n/e)，过该点的切线方程为
y=[1/e^(n/e)][x-e^(n/e)]+n/e=[1/e^(n/e)]x+(n-e)/e..........(1)
g(x)=e^x，g′(x)=e^x，当x=-n/e时，g′(-n/e)=e^(-n/e)=1/[e^(n/e)]，故过y=g(x)上的点
(-n/e，1/e^(n/e))的切线方程为
y=[1/e^(n/e)][x+(n/e)]+1/e^(n/e)=[1/e^(n/e)]x+[1/e^(n/e)](n+e)/e........(2)
两条切线(1)和(2)的斜率相同，只要它们在y轴上的截距相等，它们就是同一条切线，为此令：
(n-e)/e=[1/e^(n/e)](n+e)/e)，得n-e=[1/e^(n/e)](n+e)，e^(n/e)=(n+e)/(n-e).........(3)
(3)是一个超越方程，很难求解，但从理论上讲，由于(3)的左边是关于n的增函数；而其右边，
当n≧3以后，是一个正的假分数，因此是关于n的减函数，故在区间[3，+∞)内必存在一个实
数n(不一定是自然数)，使得(3)式成立。这就证明了“在区间（1，+∞）上存在唯一的x0，使
得直线与曲线y=g(x)相切”。
以上只是一个“存在性”证明，n究竟是多少，要用计算机求解，已超出中学的教学要求。