Question

在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，已知3a cosA＝c cosB＋b cosC.(1)求cosA

在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，已知3a cosA＝c cosB＋b cosC.(1)求cosA的值；（2）若a＝1，cosB＋cosC＝(2√3)/3，求边c.
关键是第二步

Answer 1

(1)
因为公式a=sinA*2r b=sinB*2r c=sinC*2r
所以 3*sinA*cosA=sinC*cosB+sinB*cosC
3*sinA*cosA=sin(C+B)
3*sinA*cosA=sinA
cosA=1/3

Answer 2

由余弦定理可知2accosB=a^2+c^2-b^2；2abcosc=a^2+b^2-c^2；
代入3acosA=ccosB+bcosC；
得cosA=1/3 ；
∴sinA= 2√3/3
cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC=-1/3 cosC+ 2√3/3 sinC ③
又已知 cosB+cosC= 2√3/3 代入 ③
cosC+√2 sinC=√3 ，与cos^2C+sin^2C=1联立
解得 sinC= √6/3
已知 a=1
正弦定理：c= √3/2