Question

已知x y z 是互不相等的正数且,x+y+z=1求正（1/x--1)(1/Y-1)(1/Z-1）>8

Answer 1

因为1/x-1=(x+y+z)/x-1=(y+z)/x
同理1/y-1=(x+z)/y,1/z-1=(x+y)/z
所以(1/x-1)(1/y-1)(1/z-1)
=(y+z)(x+z)(x+y)/(xyz),
因为x,y,z是正数,
所以y+z>=2根号(yz),
x+z>=2根号(xz),
x+y>=2根号(xy),
所以(y+z)(x+z)(x+y)>=8*xyz,
所以(y+z)(x+z)(x+y)/(xyz)>=8,
而x,y,z互不相等,
所以等号不成立,
所以（1/x-1)(1/Y-1)(1/Z-1）>8.