Question

已知函数f(x)=sin (ωx+φ)(其中ω>0,IφI<π/2),g(x)=2sin^2x。

若函数f(x)的图像与x轴的任意相邻交点间的距离为π/2.且直线x=π/6是函数f(x)图像的一条对称轴。
（1）求函数f（x）的解析式。
（2）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间。

Answer 1

解：（1）由函数y=f（x）的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为 π2得函数周期为π，
∴w=2
∵直线x= π/6是函数y=f（x）图象的一条对称轴，
∴sin（2• π/6+φ）=±1，
φ=2kπ+ π/6或2kπ 7π/6，（k∈Z），
∵|φ|＜ π/2，
φ= π/6．∴f（x）=sin（2x+ π/6）．
（2）h（x）=f（x）+g（x）=sin（2x+ π/6）+2sin2x=sin（2x- π/6）+1
∵函数y=sin（2x- π/6）的单调增区间是2kπ- π/2≤2x- π/6≤2kπ+ π/2，
∴函数h（x）的单调递增区间为kπ- π/6≤x≤kπ+ π/3（k∈Z）．