Question

已知函数f（x）=2sin（ωX+φ）（0<φ<π，ω>0）为偶函数，函数y=f（X）图象的两相邻对

已知函数f（x）=2sin（ωX+φ）（0<φ<π，ω>0）为偶函数，函数y=f（X）图象的两相邻对称轴间的距离为π/2。（1）求f（x）的解析（2）将函数y=f（x）图象向右平移π/6个单位后，再将图象多点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（X）的图像，求y=g（x）的单调递减区间

Answer 1

(1):f(x)为偶函数，故f(x)=f(-x)
2sin(ωx+φ)= 2sin(-ωx+φ)
即sin (ωx)cos φ=0
又ω>0，所以 sin (ωx)不恒为0
故：cos φ=0， 又0<φ<π
φ= π/2
函数y=f（X）图象的两相邻对称轴间的距离为π/2，即有;
2 π/ ω=π/2*2
解得 ω=2
所以f(x)=2sin(2x+ π/2)
(2):平移后得函数y1=2sin[2(x-π/6)+π/2]=2sin(2x- π/6)
横坐标伸长到原来的4倍得函数y=g(x)=2sin(2x/4 - π/6),即g(x)=2sin( x/2- π/6)
令g'(x)=cos ( x/2- π/6)<0
1/2 π +2nπ< x/2- π/6<3/2 π +2nπ
得 4/3π+4n π<x< 10/3π+4n π
即为g(x)减区间